Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP.

（1）求證：直線CP是⊙O的切線；

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半徑及△ACP的周長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）20.

【解析】

（1）欲證明直線CP是⊙O的切線，只需證得CP⊥AC；

（2）利用正弦三角函數的定義求得⊙O的直徑AC=5，則⊙O的半徑為.如圖，過點B作BD⊥AC于點D，構建相似三角形：△CAN∽△CBD，所以根據相似三角形的對應邊成比例求得線段BD=4；然后在直角△BCD中，利用勾股定理可以求得CD=2，所以利用平行線分線段成比例分別求得線段PC、PB的長度．則△ACP的周長迎刃可解了．

（1）證明：連接AN，

∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，

∵AC是⊙O的直徑，∴AN⊥BC，

∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠CAN=∠BCP．

∵∠CAN+∠ACN=90°，

∴∠BCP+∠ACN=90°，

∴CP⊥AC

∵OC是⊙O的半徑

∴CP是⊙O的切線；

（2）∵∠ANC=90°，sin∠BCP=，

∴=，

∴AC=5，

∴⊙O的半徑為.

如圖，過點B作BD⊥AC于點D．

由（1）得BN=CN=BC=，

在Rt△CAN中，AN=，

在△CAN和△CBD中，

∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，

∴△CAN∽△CBD，

∴，

∴BD=4．

在Rt△BCD中，CD=，

∴AD=AC-CD=5-2=3，

∵BD∥CP，

∴，，

∴CP=，BP=

∴△APC的周長是AC+PC+AP=20．