Question

【題目】已知CD是經過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠．

(1)若直線CD經過∠BCA的內部，且E、F在射線CD上，請解決下面問題：

①如圖1若∠BCA=90°，∠=90°、探索三條線段EF、BE、AF的數量關系并證明你的結論.

②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°， 請添加一個關于∠與∠BCA關系的條件___ ____使①中的結論仍然成立；

(2)如圖3，若直線CD經過∠BCA的外部，∠=∠BCA，請寫出三條線段EF、BE、AF的數量關系并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）①EF、BE、AF的數量關系： (相關等式均可，證明詳見解析； ②∠與∠BCA關系：∠ +∠BCA=180°（或互補，相關等式均可）；（2）EF、BE、AF的數量關系： (相關等式均可) ，證明詳見解析.

【解析】試題分析：（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.

②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.

（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

試題解析：（1）①如圖1中，.

.

E點在F點的左側，.

∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，.

∴∠BEC=∠AFC=90°，.

∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，.

∴∠CBE=∠ACF，.

在△BCE和△CAF中，.

，.

∴△BCE≌△CAF（AAS），.

∴BE=CF，CE=AF，.

∴EF=CF-CE=BE-AF，.

當E在F的右側時，同理可證EF=AF-BE，.

∴EF=|BE-AF|；

②∠α+∠ACB=180°時，①中兩個結論仍然成立；.

證明：如圖2中，.

.

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，.

∴∠CBE=∠ACF，.

在△BCE和△CAF中，.

，.

∴△BCE≌△CAF（AAS），.

∴BE=CF，CE=AF，.

∴EF=CF-CE=BE-AF，.

當E在F的右側時，同理可證EF=AF-BE，.

∴EF=|BE-AF|；

（2）EF=BE+AF．.

理由是：如圖3中，.

.

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，.

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，.

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，.

∴∠EBC=∠ACF，.

在△BEC和△CFA中，.

，.

∴△BEC≌△CFA（AAS），.

∴AF=CE，BE=CF，.

∵EF=CE+CF，.

∴EF=BE+AF．