Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=$12\sqrt{2}$，點C的坐標為（-18，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）若直線DE交梯形對角線BO于點D，交y軸于點E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；
（3）若點P是（2）中直線DE上的一個動點，是否存在點P，使以O、E、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過B作BF⊥x軸于點F，在Rt△BCF中可求得BF和CF，則可求得B點的坐標；
（2）過D作DG⊥y軸于點G，由△ODG∽△OBA可求得OG和DG，則可求得D點坐標，利用待定系數法可求得直線DE的解析式；
（3）結合直線DE的解析式可設出P點坐標，表示出PE、PO和OE的長，利用等腰三角形的性質可得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）如圖1，過點B作BF⊥x軸于點F，

在Rt△BCF中，
∵∠BCO=45°，BC=12$\sqrt{2}$，
∴BF=CF=12，
∵C（-18，0），
∴OF=AB=6，
∴B（-6，-12）；
（2）如圖2，過點D作DG⊥y軸于點G，

∵AB∥DG，
∴△ODG∽△OBA，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{OG}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∵AB=6，OA=12，
∴DG=4，OG=8，
∴D（-4，8），且E（0，4），
設直線DE解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=8}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=-x+4；
（3）∵點P在直線DE上，
∴可設P（t，-t+4），
∵E（0，4），O（0，0），
∴PE=$\sqrt{{t}^{2}+（-t+4-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$|t|，PO=$\sqrt{{t}^{2}+（-t+4）^{2}}$=$\sqrt{2{t}^{2}-8t+16}$，EO=4，
∵△OPE為街腰三角形，
∴有PE=PO、PE=OE和PO=EO三種情況，
①當PE=PO時，則$\sqrt{2}$|t|=$\sqrt{2{t}^{2}-8t+16}$，解得t=2，此時P點坐標為（2，2）；
②當PE=OE時，則$\sqrt{2}$|t|=4，解得t=±2$\sqrt{2}$，此時P點坐標為（2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）或（-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）；
③當PO=EO時，則$\sqrt{2{t}^{2}-8t+16}$=4，解得t=0（與E重合，舍去）或t=4，此時P點坐標為（4，0）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（2，2）或（2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）或（-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）或（4，0）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及勾股定理、待定系數法、相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中構造直角三角形，求得B到兩坐標軸的距離是解題的關鍵，在（2）中構造相似三角形求得D點坐標是解題的關鍵，在（3）中用P點坐標表示出PE和OP的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．