Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（6，6），（6，0），拋物線y＝﹣（x﹣m）2+n的頂點P在折線OA﹣AB上運動．

（1）當點P在線段OA上運動時，拋物線y＝﹣（x﹣m）2+n與y軸交點坐標為（0，c）．

①用含m的代數式表示n，

②求c的取值范圍．

（2）當拋物線y＝﹣（x﹣m）2+n經過點B時，求拋物線所對應的函數表達式；

（3）當拋物線與△ABO的邊有三個公共點時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①n＝m；②c的取值范圍為﹣30≤c≤；（2）y＝﹣（x﹣6）2；（3）滿足條件的點P坐標為（1，1）或（6，6）或（6，）

【解析】

（1）①設直線OA的解析式為y=kx，把點（6，6）代入可得k=1，推出y=x．因為y=-（x-m）2+n的頂點P在OA上，推出n=m．②由題意：y=-x2+2mx-m2+m，由拋物線與y軸交點坐標為（0，c），推出c=-m2+m，根據0≤m≤6，利用二次函數的性質即可解決問題．
（2）把B（6，0）代入拋物線的解析式即可解決問題．
（3）分三種情形①當拋物線經過點O時，拋物線與△ABO的邊有三個公共點，
②當拋物線經過點A時，拋物線與△ABO的邊有三個公共點，此時P（6，6）．
③當點P在AB上運動，拋物線與OA只有一個公共點時，拋物線與△ABO的邊有三個公共點．

解：（1）①設直線OA的解析式為y＝kx，∵經過（6，6），

∴6k＝6，

∴k＝1，

∴y＝x．

∵y＝﹣（x﹣m）2+n的頂點P在OA上，

∴n＝m．

②由題意：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m，

∵拋物線與y軸交點坐標為（0，c），

∴c＝﹣m2+m，

∵點P在線段OA上，

∴0≤m≤6，﹣＝﹣＝，

∵0＜＜6，

∴當m＝時，c＝﹣（）2+＝，

當m＝6時，c＝﹣62+6＝﹣30，

∴c的取值范圍為﹣30≤c≤．

（2）當點P在線段OA上時，

∵拋物線經過B（6，0），

∴﹣（6﹣m）2+m＝0，

∴m＝4或9（舍棄），

∴y＝﹣（x﹣4）2+4，

當點P在線段AB上時，點P與點B重合，

∴m＝6，

∴y＝﹣（x﹣6）2．

（3）①當拋物線經過點O時，拋物線與△ABO的邊有三個公共點，

把（0，0）代入拋物線y＝﹣（x﹣m）2+m得到m＝1或0（舍棄），此時P（1，1）．

②當拋物線經過點A時，拋物線與△ABO的邊有三個公共點，此時P（6，6）．

③當點P在AB上運動，拋物線與OA只有一個公共點時，拋物線與△ABO的邊有三個公共點，

由消去y得到x2﹣11x+36﹣n＝0，

由題意△＝0，∴121﹣4（36﹣n）＝0，

∴n＝，

∴P（6，），

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（1，1）或（6，6）或（6，）