Question

【題目】已知拋物線y=ax2經過點A（2，1）．

（1） 求a的值；

（2） 如圖1，點M為x軸負半軸上一點，線段AM交拋物線于N．若△OMN為等腰三角形，求點N的坐標；

（3） 如圖2，直線y=kx－2k＋3交拋物線于B、C兩點，過點C作CP⊥x軸，交直線AB于點P，請說明點P一定在某條確定的直線上運動，求出這條直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）N（﹣1，）；（3）y=x﹣3．

【解析】

（1）A（2，1）代入拋物線方程，解方程即可得到a的值；

（2）設點M（m，0），求出AM所在直線的表達式，MN=ON時，過點N作NH⊥OM，求出OH，HN的長，得出N的坐標，把N點坐標代入拋物線表達式求解即可得出結論；

（3）設：點C（x1，y1），B（x2，y2），P（x1，y），則：x2=kx﹣2k+3，由根與系數的關系得：x1+x2=4k，x1x2=8k﹣12，…①，y2②，把A、B坐標代入直線方程，解得AB所在的直線方程，把點P（x1，y）、①、②代入方程，整理即可得到結論．

（1）A（2，1）代入拋物線方程，解得：a；

（2）設點M（m，0），把點A、M坐標代入直線表達式得：

AM所在直線的表達式為：yx．

從圖象位置關系看，△OMN為等腰三角形時，只有MN=ON這一種情況，過點N作NH⊥OM，則OH=MH，HN=MHtan∠AMH，則N（，），把N點坐標代入拋物線表達式解得：m=﹣2，m=4（舍去）；則N（-1，）．

經驗證：MN=OM，OM=ON無解．故：N（﹣1，）；

（3）設：點C（x1，y1），B（x2，y2），P（x1，y），則：x2=kx﹣2k+3，則：x1+x2=4k，x1x2=8k﹣12，…①，y2②，把A、B坐標代入直線方程，解得：

AB所在的直線方程為：y，把點P（x1，y）、①、②代入上式，整理得：y=x1﹣3，這條直線的解析式為：y=x﹣3．