Question

如圖，在正方形ABCD中，等邊△AEF的頂點E、F分別在BC和CD上。

（1）、求證：△ABE≌△ADF；
（2）、若等邊△AEF的周長為6，求正方形ABCD的邊長。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）根據四邊形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠B=∠D=90°，再根據△AEF是等邊三角形，得出AE=AF，最后根據HL即可證出△ABE≌△ADF；
（2）根據等邊△AEF的周長是6，得出AE=EF=AF的長，再根據（1）的證明得出CE=CF，∠C=90°，從而得出△ECF是等腰直角三角形，再根據勾股定理得出EC的值，設BE=x，則AB=x+，在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，求出x的值，即可得出正方形ABCD的邊長．
試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵AB＝AD，AE＝AF
∴Rt△ABE≌Rt△ADF；
（2）∵等邊△AEF的周長是6，
∴AE=EF=AF=2，
又∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，∠C=90°，
即△ECF是等腰直角三角形，
由勾股定理得CE²+CF²=EF²，
∴EC=，
設BE=x，則AB=x+，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即（x+）²+x²=4，
解得x₁=或x₂=（舍去），
∴AB=+=，
∴正方形ABCD的邊長為．
考點: 1.正方形的性質；2.全等三角形的判定與性質；