Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AD＝DB，點E、F、G分別是AO、BO、DC的中點，連接EF、DE、EG、GF．

（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）求證：EG＝EF．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）利用三角形中位線定理及中點定義即可得到EF＝DG，EF∥DG，即可解決問題；

（2）利用平行四邊形的性質可知OD＝DB，∵AD＝DB，進而得到OD=AD，∵E是AO中點，利用等腰三角形性質，可知DE⊥AO，進而證得△CDE是直角三角形，∠CED＝90°，再利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可證得EG＝CD＝DG，即可解決問題.

（1）證明：∵點E、F、G分別是AO、BO、DC的中點，

∴EF是△OAB的中位線，DG＝CD，

∴EF∥AB，EF＝AB，DG＝CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD，OD＝OB＝DB，

∴EF＝DG，EF∥DG，

∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）證明：由（1）得：EF＝DG，

∵AD＝DB，OD＝DB，

∴AD＝OD，

∵點E是AO的中點，

∴DE⊥OA，

∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°，

∵點G是DC的中點，

∴EG＝CD＝DG，

∴EG＝EF．