Question

【題目】將正方形 ABCD （如圖 1）作如下劃分：

第1次劃分：分別連接正方形ABCD對邊的中點（如圖2），得線段HF和EG，它們交于點M，此時圖2中共有5個正方形；

第2次劃分：將圖2 左上角正方形AEMH再作劃分，得圖3，則圖3 中共有9個正方形；

（1）若每次都把左上角的正方形依次劃分下去，則第100次劃分后，圖中共有 個正方形；

（2）繼續劃分下去，第幾次劃分后能有805個正方形?寫出計算過程．

（3）按這種方法能否將正方形ABCD劃分成有2015個正方形的圖形？如果能，請算出是第幾次劃分，如果不能，需說明理由．

（4）如果設原正方形的邊長為1，通過不斷地分割該面積為1的正方形，并把數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，可以很容易得到一些計算結果，試著探究求出下面表達式的結果吧．

計算 ．（ 直接寫出答案即可）

Answer 1

【答案】（1）401；（2）第 201 次劃分后能有 805個正方形；（3）不能；（4）

【解析】

（1）由第一次可得5個正方形，第二次可得9個正方形，第三次可得13個正方形，可得規律：第n次可得（4n＋1）個正方形，繼而求得答案；

（2）由規律可得方程4n＋1＝805，繼而求得答案；

（3）由規律可得4n＋1＝2015，又由n為整數，可求得答案；

（4）此題可看作上面幾何體面積問題，即可求得答案．

（1）∵第一次可得5個正方形，第二次可得9個正方形，第三次可得13個正方形，

∴第n次可得（4n＋1）個正方形，

∴第100次可得正方形：4×100＋1＝401（個）；

故答案為：401；

（2）根據題意得：4n＋1＝805，

解得：n＝201；

∴第201次劃分后能有805個正方形；

（3）不能，

∵4n＋1＝2015，

解得：n＝503.5，

∴n不是整數，

∴不能將正方形性ABCD劃分成有2015個正方形的圖形；

（4）結合題意得：

＝

＝

＝．