Question

5．如圖①，已知A（x，0）在x負半軸上，B（0，y）在y正半軸上，且x、y滿足$\sqrt{x+m}$+y²-2my+m²=0，m＞0．
（1）判斷△AOB的形狀；
（2）如圖②過OA上一點作CD⊥AB于C點，E是BD的中點，連接CE、OE，試判斷CE與OE的數量關系與位置關系，并說明理由；（提示：可延長OE至F，使OE=EF，連接CF、DF、OC）
（3）將（2）中的△ACD繞A旋轉至D落在AB上（如圖③），其它條件不變，（2）中結論是否成立？請證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由算術平方根的性質和偶次方的非負性質求出x=-m，y=m，得出OA=OB，即可得出結論；
（2）延長OE至F，使OE=EF，連接CF、DF、OC，由SAS證明△DEF≌△BEO，得出BO=DF，∠FDB=∠OBD，由SAS證明△OCA≌△FCD，得出OC=OF，∠OCA=∠FCD，進一步即可得出結論；
（3）延長OE至F，使OE=EF，連接CF、DF、OC，同（2）即可得出結論．

解答 解：（1）△AOB是等腰直角三角形，理由如下：
∵A（x，0）在x負半軸上，B（0，y）在y正半軸上，且x、y滿足$\sqrt{x+m}$+y²-2my+m²=0，m＞0，
∴$\sqrt{x+m}$+（y-m）²=0，x＜0，y＞0，
又∵x+m≥0，y-m≥0，
∴x+m=0，y-m=0，
∴x=-m，y=m，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形；            
（2）CE=OE，CE⊥OE．理由如下：
延長OE至F，使OE=EF，連接CF、DF、OC，如圖②所示：
∵E是BD的中點，
∴DE=BE，
在△FDE和△OBE中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=BE}&{\;}\\{∠DEF=∠OEB}&{\;}\\{EF=OE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△BEO（SAS），
∴BO=DF，∠FDB=∠OBD，
∴FD∥OB，
∴FD⊥AO，
∵∠BAO=45°，CD⊥AB
∴∠CDA=45°=∠CAO=∠CDF，∴CA=CD，∵OA=OB，∴OA=FD，
在△OCA和△FCD中$\left\{\begin{array}{l}{CA=CD}&{\;}\\{∠CAO=∠CDF}&{\;}\\{OA=FD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCA≌△FCD（SAS），
∴OC=OF，∠OCA=∠FCD
∴∠OCF=∠DCA=90°，
∴∠COF=45°，
又∵OE=EF，
∴∠OCE=∠OCF=45°，
∴∠COE=∠ECO=45°，∠CEO=90°，
∴CE=OE，CE⊥OE；                 
（3）（2）中的結論仍然成立．理由如下：
延長OE至F，使OE=EF，連接CF、DF、OC，如圖③所示：
同（1）得：△DEF≌△BEO，
∴BO=DF，∠FDB=∠OBD
∴OA=FD，FD∥OB，
∴FD⊥AO，
∵∠BAO=45°，CD⊥AC，∠CDA=45°=∠CAD，
∴∠CAO=∠DCA=90°=∠FDC，CA=CD，
在△OCA和△FCD中，$\left\{\begin{array}{l}{CA=CD}&{\;}\\{∠CAO=∠DCA}&{\;}\\{OA=FD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCA≌△FCD（SAS），
∴OC=OF，∠OCA=∠FCD，
∴∠OCF=∠DCA=90°，
∴∠COF=45°，
又∵OE=EF，
∴∠OCE=∠OCF=45°
∴∠COE=∠ECO=45°，∠CEO=90°，
∴CE=OE，CE⊥OE；

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、平行線的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關鍵．