Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，1），OA=AC，∠OAC=90°，點D為x軸上一動點，以AD為邊在AD的右側作正方形ADEF．

（1）當點D在線段OC上時（不與點O、C重合），則線段CF與OD之間的關系為　 　；

（2）當點D在線段OC的延長線上時，（1）中的結論是否成立？請說明理由；

（3）設D點坐標為（t，0），當D點從O點運動到C點時，用含t的代數式表示E點坐標，求出E點所滿足的函數關系式，并寫出E點所經過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）相等； 垂直；（2）成立，理由見解析；（3）E點坐標為（t+1，t-1），；E點所經過的路徑長為

【解析】

（1）連接CF，通過同角的余角相等可得∠OAD=∠CAF，由正方形性質可得AD=AF，再由已知OA=OC易證得兩三角形全等，而OD=CF；由△ODA≌△CFA，所以∠FCA=∠DOA，即∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠DOA+∠ACO，得到∠FCO=90°；
（2）按題目要求構造正方形ADEF，連接CF，利用（1）的方法證明，結論易得；
（3）分為t＜1，t=1，t＞1三種情況討論．分別討論利用全等三角形的判定和性質易得結論．根據點E的坐標可以分析出點運動的軌跡，即可求解．

（1）連接CF，如圖：

∵∠OAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠OAC=∠DAF，
∴∠OAD=∠OAC-∠CAD=∠DAF-∠CAD=∠CAF，
在△OAD和△CAF中，

，

∴△OAD≌△CAF，
∴OD=CF，∠AOD=∠ACF，
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC，
在Rt△OAC中，
∵∠OCA+∠AOC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OD⊥CF，
故答案：相等； 垂直；

（2）結論依然成立，即OD=CF，OD⊥CF，理由如下：

如圖，連接CF．
∵∠OAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠OAC=∠DAF，
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD=∠CAF，
在△OAD和△CAF中，

，

∴△OAD≌△CAF，
∴OD=CF，∠AOD=∠ACF，
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC，
在Rt△OAC中，
∵∠OCA+∠AOC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OD⊥CF；

（3）過點A作AG⊥x軸于G，過點E作EH⊥x軸于H，
∵OA=CA，且∠OAC=90°，
∴OG=CG=AG，
∵A的坐標為（1，1），
∴OG=AG=1，OC=2，
當D在線段OG上，如圖，此時t＜1，則DG=1-t，

∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠HDE=90°，
∴∠DAG=∠HDE，
在△ADG和△DEH中，

，

∴△ADG≌△DEH，
∵OD= t，
∴HE=DG=1-t，DH=AG=1，
∴OH=OD+DH=t+1，
∴E點坐標為（t+1，-（1-t）），即（t+1，t-1）；
當D與G點重合，E點與C點重合，即E點坐標為（2，0），

此時t=1，所以E點坐標也為（t+1，t-1）；
當D在線段GC上，如圖，此時t＞1，則DG=t-1，

∵∠ADE=90°，
∴∠ADG+∠EDH=90°，

∵∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠DAG=∠EDH，
在△ADG和△DEH中，

，

∴△ADG≌△DEH，

∵OD= t，
∴HE=DG=t-1，DH=AG=1，
∴OH=OD+DH=t+1，
∴E點坐標為（t+1，t-1），
綜上所述，E點坐標為（t+1，t-1），；

當t=0時，點E的坐標為（1，-1），

當t=2時，點E的坐標為（3，1），

猜想點E在線段上運動，

設直線的解析式為，

把（1，-1），（3，1）代入得：，

解得：，

∴，

∵點E（t+1，t-1）在上，且，

∴點E在線段上運動，猜想正確，

∴E點由（1，-1）直線運動到（3，1），

∴線段，

∴E點所經過的路徑長為．