Question

閱讀理解

拋物線y=x²上任意一點到點（0，1）的距離與到直線y=﹣1的距離相等，你可以利用這一性質解決問題．

問題解決

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+1與y軸交于C點，與函數y=x²的圖象交于A，B兩點，分別過A，B兩點作直線y=﹣1的垂線，交于E，F兩點．

（1）寫出點C的坐標，并說明∠ECF=90°；

（2）在△PEF中，M為EF中點，P為動點．

①求證：PE²+PF²=2（PM²+EM²）；

②已知PE=PF=3，以EF為一條對角線作平行四邊形CEDF，若1＜PD＜2，試求CP的取值范圍．

 

Answer 1

解：（1）當x=0時，y=k•0+1=1，

則點C的坐標為（0，1）．

根據題意可得：AC=AE，

∴∠AEC=∠ACE．

∵AE⊥EF，CO⊥EF，

∴AE∥CO，

∴∠AEC=∠OCE，

∴∠ACE=∠OCE．

同理可得：∠OCF=∠BCF．

∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°，

∴2∠OCE+2∠OCF=180°，

∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°；

（2）①過點P作PH⊥EF于H，

Ⅰ．若點H在線段EF上，如圖2①．

∵M為EF中點，

∴EM=FM=EF．

根據勾股定理可得：

PE²+PF²﹣2PM²=PH²+EH²+PH²+HF²﹣2PM²

=2PH²+EH²+HF²﹣2（PH²+MH²）

=EH²﹣MH²+HF²﹣MH²

=（EH+MH）（EH﹣MH）+（HF+MH）（HF﹣MH）

=EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH）

=EM（EH+MH）+EM（HF﹣MH）

=EM（EH+MH+HF﹣MH）

=EM•EF=2EM²，

∴PE²+PF²=2（PM²+EM²）；

Ⅱ．若點H在線段EF的延長線（或反向延長線）上，如圖2②．

同理可得：PE²+PF²=2（PM²+EM²）．

綜上所述：當點H在直線EF上時，都有PE²+PF²=2（PM²+EM²）；

②連接CD、PM，如圖3．

∵∠ECF=90°，

∴▱CEDF是矩形，

∵M是EF的中點，

∴M是CD的中點，且MC=EM．

由①中的結論可得：

在△PEF中，有PE²+PF²=2（PM²+EM²），

在△PCD中，有PC²+PD²=2（PM²+CM²）．

∵MC=EM，

∴PC²+PD²=PE²+PF²．

∵PE=PF=3，

∴PC²+PD²=18．

∵1＜PD＜2，

∴1＜PD²＜4，

∴1＜18﹣PC²＜4，

∴14＜PC²＜17．

∵PC＞0，

∴＜PC＜．