Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＞60°，∠BAC＜60°，以AB為邊作等邊△ABD（點C、D在邊AB的同側），連接CD．

（1）若∠ABC90°，∠BAC30°，求∠BDC的度數；

（2）當∠BAC2∠BDC時，請判斷△ABC的形狀并說明理由；

（3）當∠BCD等于多少度時，∠BAC2∠BDC恒成立．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）證明AC垂直平分BD，從而可得CD=BC，繼而得∠BDC=30°；

（2）設∠BDC=x，則∠BAC=2x，證明∠ACD=∠ADC，從而得AC=AD，再根據AB=AD可得AB=AC，從而得△ABC是等腰三角形；

（3）如圖， 作等邊△BCE，連接DE，證明△BCD≌△ECD后可得到∠BDE=2∠BDC，再通過證明△BDE≌△BAC得到∠BAC=∠BDE，從而得∠BAC=2∠BDC.

試題解析：（1）∵△ABD為等邊三角形，

∴∠BAD=∠ABD=60°，AB=AD，

又∵∠BAC=30°，

∴AC平分∠BAD，

∴AC垂直平分BD，

∴CD=BC，

∴∠BDC=∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-60°=30°；

（2）△ABC是等腰三角形，

理由：設∠BDC=x，則∠BAC=2x，

有∠CAD=60°-2x，∠ADC=60°+x，

∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=60°+x，

∴∠ACD=∠ADC，

∴AC=AD，

又∵AB=AD，

∴AB=AC，

即△ABC是等腰三角形；

（3）當∠BCD=150°時，∠BAC=2∠BDC恒成立，

如圖， 作等邊△BCE，連接DE，

∴BC=EC，∠BCE=60°.

∵∠BCD=150°，

∴∠ECD=360°-∠BCD-∠BCE=150°，

∴∠DCE=∠DCB.

又∵CD=CD，

∴△BCD≌△ECD.

∴∠BDC=∠EDC，

即∠BDE=2∠BDC.

又∵△ABD為等邊三角形，

∴AB=BD，∠ABD=∠CBE=60°，

∴∠ABC=∠DBE=60°+∠DBC.

又∵BC=BE，

∴△BDE≌△BAC.

∴∠BAC=∠BDE，

∴∠BAC=2∠BDC.