Question

【題目】如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），

∴

解得：

∴所求拋物線解析式為：

y=﹣x2﹣2x+3；

（2）

解：∵拋物線解析式為：

y=﹣x2﹣2x+3，

∴其對稱軸為x= =﹣1，

∴設P點坐標為（﹣1，a），當x=0時，y=3，

∴C（0，3），M（﹣1，0）

∴當CP=PM時，（﹣1）2+（3﹣a）2=a2，解得a= ，

∴P點坐標為：P1（﹣1， ）；

∴當CM=PM時，（﹣1）2+32=a2，解得a=± ，

∴P點坐標為：P2（﹣1， ）或P3（﹣1，﹣ ）；

∴當CM=CP時，由勾股定理得：（﹣1）2+32=（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a=6，

∴P點坐標為：P4（﹣1，6）

綜上所述存在符合條件的點P，其坐標為P（﹣1， ）或P（﹣1，﹣ ）

或P（﹣1，6）或P（﹣1， ）

（3）

解：過點E作EF⊥x軸于點F，設E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）

∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a

∴S四邊形BOCE= BFEF+ （OC+EF）OF

= （a+3）（﹣a2﹣2a+3）+ （﹣a2﹣2a+6）（﹣a）

=

=﹣ +

∴當a=﹣ 時，S四邊形BOCE最大，且最大值為 ．

此時，點E坐標為（﹣ ， ）．

【解析】（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數法即可求出二次函數的解析式；（2）可根據（1）的函數解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點的坐標，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標為（0，3），根據M、C的坐標可求出CM的距離．然后分三種情況進行討論：①當CP=PM時，P位于CM的垂直平分線上．求P點坐標關鍵是求P的縱坐標，過P作PQ⊥y軸于Q，如果設PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的長，可根據M的坐標得出，CQ=3﹣x，因此可根據勾股定理求出x的值，P點的橫坐標與M的橫坐標相同，縱坐標為x，由此可得出P的坐標．②當CM=MP時，根據CM的長即可求出P的縱坐標，也就得出了P的坐標（要注意分上下兩點）．③當CM=CP時，因為C的坐標為（0，3），那么直線y=3必垂直平分PM，因此P的縱坐標是6，由此可得出P的坐標；（3）由于四邊形BOCE不是規則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規則的圖形進行計算，過E作EF⊥x軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中，FO為E的橫坐標的絕對值，EF為E的縱坐標，已知C的縱坐標，就知道了OC的長．在三角形BFE中，BF=BO﹣OF，因此可用E的橫坐標表示出BF的長．如果根據拋物線設出E的坐標，然后代入上面的線段中，即可得出關于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求得四邊形BOCE的最大值及對應的E的橫坐標的值．即可求出此時E的坐標．