Question

【題目】閱讀下面材料：

數學課上，老師給出了如下問題：

如圖，AD為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點F，AE＝EF．求證：AC＝BF．

經過討論，同學們得到以下兩種思路：

思路一如圖①，添加輔助線后依據SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結論．

思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據AAS可以進一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結論．

完成下面問題：

（1）①思路一的輔助線的作法是：　 　；

②思路二的輔助線的作法是：　 　．

（2）請你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應的圖形，不需要寫出證明過程）．

Answer 1

【答案】（1）①延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG；②作BG＝BF交AD的延長線于點G；（2）詳見解析

【解析】

（1）①依據SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結論．

②作BG＝BF交AD的延長線于點G．利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據AAS可以進一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結論．

（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，證明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，證出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出結論．

解：（1）①延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG，如圖①，理由如下：

∵AD為△ABC中線，

∴BD＝CD，

在△ADC和△GDB中，，

∴△ADC≌△GDB（SAS），

∴AC＝BG，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠EFA，

∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，

∴∠G＝∠BFG，

∴BG＝BF，

∴AC＝BF．

故答案為：延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG；

②作BG＝BF交AD的延長線于點G，如圖②．

理由如下：∵BG＝BF，

∴∠G＝∠BFG，

∵AE＝EF，

∴∠EAF＝∠EFA，

∵∠EFA＝∠BFG，

∴∠G＝∠EAF，

在△ADC和△GDB中，，

∴△ADC≌△GDB（AAS），

∴AC＝BG，

∴AC＝BF；

故答案為：作BG＝BF交AD的延長線于點G；

（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，如圖③所示：

則∠G＝∠CAD，

∵AD為△ABC中線，

∴BD＝CD，

在△ADC和△GDB中，，

∴△ADC≌△GDB（AAS），

∴AC＝BG，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠EFA，

∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，

∴∠G＝∠BFG，

∴BG＝BF，

∴AC＝BF．