Question

【題目】已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，P為劣弧BC上一點(點P與點B，C不重合)．

(1)如果P是劣弧BC的中點，求證：PB＋PC＝PA；

(2)當點P在劣弧BC上移動時，(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）成立

【解析】（1）連接OB，OC，由P是劣弧BC的中點，得PB=PC，由△ABC為等邊三角形知，故可證AP是⊙P的直徑， 易證△OBP和△OPC是等邊三角形，從而可證明PB＋PC＝PA；

（2）在弦PA上截取PE＝PC，連接CE.證明△CAE≌△CBP即可得出結(jié)論

(1)證明：如圖①，連接OB，OC.

∵△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，

∴AB＝AC，

∴，

∵P是的中點，

∴，

∴，

∴AP為⊙O的直徑．

∵∠BPO＝∠BCA＝60°，且OB＝OP，

∴△OBP是等邊三角形，

同理△OPC是等邊三角形，

∴PB＝PC＝OP＝OA，

∴PB＋PC＝PA.

(2)(1)中的結(jié)論還成立．理由如下：

如圖②，在弦PA上截取PE＝PC，連接CE.

∵∠APC＝∠ABC＝60°，

∴△PEC為等邊三角形，

∴CE＝CP.

∵∠PCE＝60°，且∠ACB＝60°，

∴∠ACE＝∠BCP.

又∵CA＝CB，

∴△CAE≌△CBP，

∴AE＝PB.

∵AE＋PE＝PA,

∴PB＋PC＝PA.