Question

【題目】如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連接DE，過頂點B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于H，交CD于G.

（1）求證：BG=DE；

（2）若點G為CD的中點，求的值；

（3）在（2）的條件下，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（略）；（2）； （3）.

【解析】試題分析：（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，從而可知∠CBG=∠CDE，根據全等三角形的判定即可證明△BCG≌△DCE，從而可知BG=DE；

（2）由正方形的性質得到AB=DC，AB∥DC，進而得到AB=2GC，由AB∥DC得到△ABH∽△CGH，再由相似三角形的性質即可得到結論；

（3）設CG=1，從而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易證△ABH∽△CGH，所以=2，從而可求出HG的長度，進而求出的值．

（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG與△DCE中，∵∠CBG=∠CDE，BC=CD，∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG=DE；

（2）∵ABCD是正方形，∴AB=DC，AB∥DC，∵點G為CD的中點，∴DC=AB=2CG，∵AB∥DC，∴△ABH∽△CGH，∴AB：CG=BH：HG=2：1，∴ ；

（3）設CG=1，∵G為CD的中點，∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，∵sin∠CDE=，∴GF=，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴，∴BH=，GH=，∴ =．