Question

【題目】如圖，點P是射線BM上的一個動點(點P不與點B重合)，∠AOB= 30°，∠ABM=60°.當∠OAP=______時，以點A、O、B中的任意兩點和點P為頂點的三角形是等腰三角形.

Answer 1

【答案】75°或120°或90°

【解析】

先根據題意畫出符合的情況，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出即可．

分為以下5種情況：

①OA=OP，

∵∠AOB=30°，OA=OP，

∴∠OAP=∠OPA=×（180°-30°）=75°；

②OA=AP，

∵∠AOB=30°，OA=AP，

∴∠APO=∠AOB=30°，

∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-30°-30°=120°；

③AB=AP，

∵∠ABM=60°，AB=AP，

∴∠APO=∠ABM=60°，

∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-30°-60°=90°；

④AB=BP，

∵∠ABM=60°，AB=BP，

∴∠BAP=∠APO=×（180°-60°）=60°，

∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-30°-60°=90°；

⑤AP=BP，

∵∠ABM=60°，AP=BP，

∴∠ABO=∠PAB=60°，

∴∠APO=180°-60°-60°=60°，

∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-30°-60°=90°；

所以當∠OAP=75°或120°或90°時，以A、O、B中的任意兩點和P點為頂點的三角形是等腰三角形，
故答案為：75°或120°或90°．