Question

【題目】已知：如圖，在中，，點是邊的中點．以為直徑作圓，交邊于點，連接，交于點．

求證：是圓的切線；

當時，求證：；

如圖，當是圓的切線，為中點，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據等腰三角形的三線合一的性質可得AD⊥BD，即可判定是圓的切線；（2）連接PD，根據直徑所對的圓周角是直角可得∠BPD=90°，即可得PD∥AC；已知點D是邊BC的中點，可得=BC；再由，可判定△BPD∽△BAC、△PED∽△CEA，根據相似三角形的性質可得，，即可證得；（3）（3）連接OP，可求得，，；根據切線的性質可得．根據由勾股定理求得；在中可，在Rt中，，由此求得．即可求得．

根據三角函數可求得PC，CD的長，再在RT△ADE中利用三角函數求得DE的長，進而得出AD的長．

證明：∵，點是邊的中點，

∴．

又∵是圓直徑，

∴是圓的切線．

證明：連接，則∠BPD=90°，

∵，

∴，

∵點D是邊BC的中點，

∴=BC，

∵，

∴△BPD∽△BAC，△PED∽△CEA，

∴ ，

∴；

連接，

由，得，，，

∵是圓的切線，為圓心，

∴．∴由勾股定理，得，

在中，，

在中，，．

∵為中點，

∴．