Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=4，BC=2，點P、E、F分別為邊BC、AB、AC上的任意點，則PE+PF的最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

當PE⊥AB，PF⊥AC時，PE+PF的值最小.

解：如圖，作CG⊥AB于G，PH⊥CG于H，

當PE⊥AB，PF⊥AC時，則∠EGH=GHP=∠PEG=90°，

∴四邊形PEGH為矩形，

∴PE=HG，PH∥AB，

∴∠B=∠HPC，

∵AB=AC，

∴∠B=∠FCP，

∴∠HPC=∠FCP，

∵∠PHC=∠CFP=90°，PC=CP，

∴△PHC≌△CFP(AAS)，

∴CH=PF

∴PE＋PF=HG+CH=CG，

故此時PE+PF將取得最小值.

在Rt△ACG中，

∵AC=4，

∴CG2=AC2-AG2=42-AG2，

在Rt△BCG中，

∵BC=2，BG=AB-AG=4-AG，

∴CG2=BC2-BG2=22-(4-AG)2，

∴42-AG2=22-(4-AG)2，

∴AG=，

∴CG===，

∴PE+PF=，

即PE+PF的最小值為.

故答案為：.