Question

化簡：
（1）

3

2

cot²60°+sin30°+tan36°-4tan45°cos45°-cot54°
（2）(

18

-4

1 2

+

1

2 - 3

)÷

3

3

（3）已知關于x的方程x2-(k+1)x+

k2

4

+1=0，
①k為何值時，方程有兩個實數根？
②若方程的兩個實數根x₁，x₂滿足|x₁|=x₂，則k為何值？

Answer 1

分析：（1）先利用tanα=cot（90°-α），可知tan36°=cot54°，再將特殊角的三角函數值代入，計算即可；
（2）先化簡各二次根式，再根據混合運算的法則計算即可；
（3）①先求出判別式△的值，由△≥0，解關于k的不等式即可求解；
②先根據韋達定理判斷x₁＞0，x₂＞0，再根據|x₁|=x₂，可知方程的判別式△=0，即可求出k的值．

解答：解：（1）

3

2

cot²60°+sin30°+tan36°-4tan45°cos45°-cot54°
=

3

2

×

1

3

+

1

2

+tan36°-4×1×

2

2

-cot54°
=

1

2

+

1

2

-2

2

=1-2

2

；

（2）(

18

-4

1 2

+

1

2 - 3

)÷

3

3

=（3

2

-2

2

-

2

-

3

）×

3

=-3；

（3）①∵由題意，得△=[-（k+1）]²-4（

k2+1

4

）≥0，
∴k≥

3

2

，
∴當k≥

3

2

時，此方程有實數根；
②∵x₁+x₂=k+1＞0，x₁x₂=

k2+1

4

＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
又|x₁|=x₂，
∴x₁=x₂，
∴△=0，
∴k=

3

2

．
故若方程的兩個實數根x₁，x₂滿足|x₁|=x₂，則k為

3

2

．

點評：本題考查了特殊角的三角函數值，互余角的三角函數之間的關系，二次根式的計算，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式及韋達定理，難度中等，（3）中第②問先判斷x₁＞0，x₂＞0是解題的關鍵．