Question

【題目】在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，若∠CAE＝15°．

(1)求證：△AOB是等邊三角形；

(2)求∠BOE的度數．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)∠BOE＝75°.

【解析】

(1)由矩形ABCD，得到OA＝OB，根據AE平分∠BAD，∠CAE＝15°，即可證明△AOB是等邊三角形;

(2)由等邊三角形的性質，推出AB＝OB，求出∠OBC的度數，根據等邊三角形和等腰直角三角形的性質得到OB＝BE，然后可求出∠BOE．

(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA＝OB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE＝45°，

∵∠CAE＝15°，

∴∠BAC＝60°，

∴△AOB是等邊三角形．

(2)∵△AOB是等邊三角形，

∴AB＝OB，∠ABO＝60°，

∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，

∵∠BAE＝∠BEA＝45°

∵AB＝OB＝BE，

∴∠BOE＝∠BEO＝(180°﹣30°)＝75°．