Question

【題目】已知：AB為⊙O的直徑，C、D為心⊙O上的點，C是優弧AD的中點，CE⊥DB交DB的延長線于點E．

（1）如圖1，判斷直線CE與⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）如圖2，若tan∠BCE＝，連BC、CD，求cos∠BCD的值．

Answer 1

【答案】（1）直線CE與⊙O相切，理由詳見解析；（2）cos∠BCD＝．

【解析】

（1）如圖，作輔助線；運用圓周角定理及其推論證明∠OCE＝90°，即可解決問題．

（2）首先運用切割線定理求出ED的長度；證明四邊形CEDF為矩形，得到CF＝DE；證明OF為△ABD的中位線；求出AF、OF的長度；進而求出OA的長度，即可解決問題．

解：（1）直線CE與⊙O相切，理由如下：

如圖，連接AC，CD，BC、AD、CO，延長CO交AD于點F；

則∠CBE＝∠CAD；而C是優弧ACD的中點，

∴，

∴∠CBA＝∠CDA＝∠CAD，

而∠CBE＝∠CAD，∠CBA＝∠OCB，

∴∠CBE＝∠OCB；而CE⊥BE，

∴∠ECB+∠CBE＝∠ECB+∠OCB＝90°，即，

∴OC⊥CE，

即CE為⊙O的切線；

（2）∵tan∠BCE＝，

設BE＝4k，CE＝5k，

∵CE為⊙O的切線，

∴CE2＝EBED，

∴ED＝k，BD＝k；

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，而∠E＝∠OCE＝90°，

∴四邊形CEDF為矩形，

∴OF⊥AD，AF＝DF＝CE＝5k，

∴OF為△ABD的中位線，

∴OF＝BD＝k；由勾股定理得：OA＝＝k，

∴cos∠BAD＝＝＝，

而∠BCD＝∠BAD，

∴cos∠BCD＝．