Question

【題目】已知在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，點P在AB上（不與A、B重合），過P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別是E、F，連結EF，M為EF的中點，則CM的最小值為 ．

Answer 1

【答案】1.2
【解析】解：如圖，連接CP． ∵AC=3，BC=4，AB=5
∴∠ACB=90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，
∴四邊形CFPE是矩形，
∴EF=CP，
由垂線段最短可得CP⊥AB時，線段EF的值最小，則CM最小，
此時，S△ABC= BCAC= ABCP，
即 ×4×3= ×5CP，
解得CP=2.4．
∴EF=2.4，
∵M為EF中點，
∴CM=1.2
故答案為：1.2．

連接CP，利用勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，判斷出四邊形CFPE是矩形，根據矩形的對角線相等可得EF=CP，再根據垂線段最短可得CP⊥AB時，線段EF的值最小，則CM最小，然后根據三角形的面積公式列出方程求解即可．