Question

【題目】（14分）在平面直角坐標系中，已知點A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．

（1）求過點A，C的直線解析式和過點A，B，C的拋物線的解析式；

（2）求過點A，B及拋物線的頂點D的⊙P的圓心P的坐標；

（3）在拋物線上是否存在點Q，使AQ與⊙P相切，若存在請求出Q點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2，；（2）P（0，）；（3）Q（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用拋物線和x軸的兩個交點坐標，設出拋物線的解析式，代入即可得出拋物線的解析式，再設出直線AC的解析式，利用待定系數法即可得出答案；

（2）先求得拋物線的頂點D的坐標，再設點P坐標（0，Py），根據A，B，D三點在⊙P上，得PB=PD，列出關于Py的方程，求解即可得出P點的坐標；

（3）假設拋物線上存在這樣的點Q使直線AQ與⊙P相切，設Q點的坐標為（m，m2﹣4），根據平面內兩點間的距離公式，即可得出關于m的方程，求出m的值，即可得出點Q的坐標．

試題解析：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）；

∴設二次函數的解析式為y=a（x﹣2）（x+2）…①，把C（3，5）代入①得a=1；

∴二次函數的解析式為：；

設一次函數的解析式為：y=kx+b（k≠0）…②

把A（﹣2，0），C（3，5）代入②得：，解得：，∴一次函數的解析式為：y=x+2；

（2）設P點的坐標為（0，），由（1）知D點的坐標為（0，﹣4）；

∵A，B，D三點在⊙P上，∴PB=PD，∴，解得： =，∴P點的坐標為（0，）；

（3）在拋物線上存在這樣的點Q使直線AQ與⊙P相切．

理由如下：設Q點的坐標為（m，），根據平面內兩點間的距離公式得：=，=；

∵AP=，∴=；

∵直線AQ是⊙P的切線，∴AP⊥AQ；

∴，即：=+，解得：=，=﹣2（與A點重合，舍去），∴Q點的坐標為（，）．