Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知A（－3，0），B（4，0），C（0，4）. 二次函數的圖像經過A、B、C三點．點P沿AC由點A處向點C運動，同時，點Q沿BO由點B處向點O運動，運動速度均為每秒1個單位長度.當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動．連接PQ，過點Q作QD⊥x軸，與二次函數的圖像交于點D，連接PD，PD與BC交于點E． 設點P的運動時間為t秒（t＞0）.

⑴ 求二次函數的表達式；

⑵ 在點P、Q運動的過程中，當∠PQA＋∠PDQ＝90°時，求t的值；

⑶ 連接PB、BD、CD，試探究在點P，Q運動的過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形PBDC是平行四邊形？若存在，請求出此時t的值與點E的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】⑴ ⑵當∠PQA = 90°-∠PDQ時，t的值為 ⑶ 不存在某一時刻，使得四邊形PBDC是平行四邊形

【解析】(1)把A（－3，0），B（4，0），C（0，4）三點代入y=ax+bx+c即可求解;(2)求出直線AC的解析式，利用二次函數的解析式分別設出點P、D的坐標，作PH⊥DQ,可得DQ=2HQ,利用即可求出t的值;(3)由直線PD與BC相交于E,用含t的代數式設出點E的坐標，點E又在直線BC: y=-x+4上,得到關于t的一元二次方程，再利用根的判別式小于0，判斷出方程無解即可.

詳解⑴設y=ax+bx+c，把A（－3，0），B（4，0），C（0，4）三點代入得

，解得

∴

⑵，

作,

∵ ∴

∴=

解得（舍去），,

∴當∠PQA = 90°-∠PDQ時，的值為

⑶不存在某一時刻，使得四邊形PBDC是平行四邊形.

理由：若四邊形PBDC是平行四邊形, 則BC平分線段PD，

∵點E又在直線BC: 上，

∴

整理得

此方程根的判別式，

∴方程無實數根.

即不存在某一時刻，四邊形PBDC是平行四邊形.