Question

定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn)，線段PQ長度的最小值叫做線段與線段的距離.
已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四點(diǎn).
（1）根據(jù)上述定義，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，如圖1，線段BC與線段OA的距離是_____,
當(dāng)m=5，n=2時(shí)，如圖2，線段BC與線段OA的距離(即線段AB的長)為______

（2）如圖3，若點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關(guān)于m的函數(shù)解析式.
（3）當(dāng)m的值變化時(shí)，動(dòng)線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點(diǎn)為M.
①求出點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長;
②點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x軸,垂足為H，是否存在m的值，使以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）2；（2）（3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m=

解：（1）2；。
（2）∵點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為2的圓上，∴2≤m≤6。
當(dāng)4≤m≤6時(shí)，根據(jù)定義， d=AB=2。
當(dāng)2≤m＜4時(shí)，如圖，過點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E，
則根據(jù)定義，d=EB。
∵A(4，0)，B(m，n)，AB=2，∴EA=4－m。
∴ 
。
∴。
（3）①如圖，由（2）知，當(dāng)點(diǎn)B在⊙O的左半圓時(shí)，d="2" ，此時(shí)，點(diǎn)M是圓弧M₁M₂，長2π；
當(dāng)點(diǎn)B從B₁到B₃時(shí)，d="2" ，此時(shí)，點(diǎn)M是線段M₁M₃，長為8；
同理，當(dāng)點(diǎn)B在⊙O的左半圓時(shí)，圓弧M₃M₄長2π；點(diǎn)B從B₂到B₄時(shí)，線段M₁M₃=8。
∴點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長為16+4π。

②存在。如圖，
由A(4，0)，D(0，2), 得。
（i）∵M(jìn)₁H₁=M₂H₂=2，
∴只要AH₁=AH₂="1," 就有△AOD∽△M₁H₁A和△AOD∽△M₂H₂A，此時(shí)OH₁=5，OH₂=3。
∵點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn), BC=4，
∴OH₁=5時(shí)，m=3；OH₂=3時(shí)，m=1。
（ii）顯然，當(dāng)點(diǎn)M₃與點(diǎn)D重合時(shí)，△AOD∽△AH₃M₃，此時(shí)m=－2, 與題設(shè)m≥0不符。
（iii）當(dāng)點(diǎn)M₄右側(cè)圓弧上時(shí)，連接FM₄，其中點(diǎn)F是圓弧的圓心，坐標(biāo)為（6，0）。
設(shè)OH₄="x," 則FH₄= x－6。
又FM₄=2，∴。
若△AOD∽△A H₂M₂，則,即,
解得（不合題意，舍去）。此時(shí)m=。
若△AOD∽△M₂H₂ A，則,即,
解得（不合題意，舍去）。
此時(shí),點(diǎn)M₄在圓弧的另一半上，不合題意，舍去。
綜上所述，使以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似的m的值為：m=1，m=3，m=。
（1）根據(jù)定義，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，線段BC與線段OA的距離是點(diǎn)A到BC的距離2。當(dāng)m=5，n=2時(shí)，線段BC與線段OA的距離(即線段AB的長) 可由勾股定理求出：。
（2）分2≤m＜4和4≤m≤6兩種情況討論即可。
（3）①由（2）找出點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形即可。
②由（2）分點(diǎn)M在線段上和圓弧上兩種情況討論即可。