Question

【題目】綜合與實踐：折紙中的數學

問題背景

在數學活動課上，老師首先將平行四邊形紙片ABCD按如圖①所示方式折疊，使點C與點A重合，點D落到D′處，折痕為EF．這時同學們很快證得：△AEF是等腰三角形．接下來各學習小組也動手操作起來，請你解決他們提出的問題．

操作發現

(1) “爭先”小組將矩形紙片ABCD按上述方式折疊，如圖②，發現重疊部分△AEF恰好是等邊三角形，求矩形ABCD的長、寬之比是多少？

實踐探究

(2)“勵志”小組將矩形紙片ABCD沿EF折疊，如圖③，使B點落在AD邊上的B′處；沿B′G折疊，使D點落在D′處，且B′D′過F點．試探究四邊形EFGB′是什么特殊四邊形？

(3)再探究：在圖③中連接BB′，試判斷并證明△BB′G的形狀．

Answer 1

【答案】（1）矩形ABCD的長、寬之比為；（2）四邊形EFGB′是平行四邊形，理由詳見解析；（3）△BB′G為直角三角形，理由詳見解析．

【解析】

（1）矩形的長、寬之比應是．設，根據等邊三角形的性質可得出，根據矩形的性質可得出，，再根據特殊角的三角函數值即可得出，，結合邊與邊之間的關系即可得出；

（2）四邊形是平行四邊形．根據矩形的性質可得出，從而得出相等的內錯角“，，”，再由翻折的性質可得出，，由此即可得出，從而找出，由兩組對邊互相平行即可證出四邊形是平行四邊形；

（3）△為直角三角形．連接交于點，根據平行線的性質可得出，由翻折的性質可得出，從而可得出，再由等腰三角形的性質可得出，根據平行線的性質即可得出，由此即可證出△為直角三角形．

解：（1）矩形的長、寬之比應是．

證明：設，

等邊三角形，

，

四邊形為矩形，

，．

在中，，，，

，，

，

，

．

（2）四邊形是平行四邊形．

證明：四邊形為矩形，

，

，，．

由翻折的特性可知：，，

，，

又，

，

，

又，

四邊形是平行四邊形．

（3）△為直角三角形．

證明：連接交于點，如圖所示．

，

，

，

，

．

，

△為等腰三角形，

，

．

，

，

△為直角三角形．