Question

如圖，已知：四邊形AEBD中，對角線AB和DE相交于點C，且AB垂直平分DE，AC=a，BC=b，CD=

ab

，其中a≥b＞0．
（1）用尺規作圖法作出以AB為直徑的⊙O（保留作圖痕跡）
（2）試判斷點D與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）試估計代數式a+b和2

ab

的大小關系，并利用圖形中線段的數量關系證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）作圖思路：先作AB的垂直平分線，以垂直平分線與AB的交點為圓心，以AB的一半為半徑作圓，所得的圓為所求的圓；
（2）求D是否在圓上，連接OD，如果證明了OD=OA=OB那么D就在圓上了，那么只要證明∠ADB是個直角就可以了，可通過證明△DCA∽△BCD，根據題目給出的條件，不難得出CD²=AC•CB，那么證明△DCA∽△BCD就容易多了；
（3）圓內長的弦是直徑，那么AB≥DE，AB=a+b，DE=2DC=2

ab

，因此可得出：a+b≥2

ab

．

解答：解：（1）如圖所示

（2）∵AC=a，BC=b，CD=

ab

，
∴CD²=AC•CB，即

CD

AC

=

CB

CD

又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD；
∴∠DAB=∠CDB，∵∠DAB+∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠CDB=90°
即∠ADB=90°，∴OA=OB=OD，∴點D在⊙O上；

（3）結論：a+b≥2

ab

；
由（2）知，點D、E都在⊙O上，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥DE，
∴DE=2DC=2

ab

，
∵AB≥DE，
∴a+b≥2

ab

．

點評：本題主要考查了點與圓的關系，相似三角形的判定等知識點．要證明某點是否在圓上，只要連接這點和圓心再證明其長度等于半徑即可．