Question

如圖，已知在四邊形ABCD中，E、F分別為AD、DC的中點，AD∥BC，AD：DC=1：

2

，AB=10、BC=6、EF=4．
（1）求AD的長；
（2）△DEF是什么三角形？請你給出正確的判斷，并加以說明；
（3）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）連接AC，可求得AC的長，根據勾股定理的逆定理，可知∠ACB=90°，由AD∥BC，AD：DC=1：

2

，可得AD的長；
（2）由三角形中位線的性質，可得EF∥AC，即△DEF是等腰直角三角形；
（3）把四邊形ABCD的面積分成兩個三角形的面積來求，即S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD．

解答：解：（1）如圖：連接AC，
∵E、F分別為AD、DC的中點，∴AC=2EF，∵EF=4，∴AC=8，
∵AB=10，BC=6，∴△ABC為直角三角形，∴∠ACB=90°，
∵AD∥BC，∴∠CAD=90°，
∵AD：DC=1：

2

，∴設AD=x，則CD=

2

x，
即x²+AC²=（

2

x）²，解得x=8，
∴AD的長為8；

（2）∵EF是△ACD的中位線，∴EF∥AC，∴∠DFE=90°，
∵AD=8，E為AD的中點，
∴DF=EF=4
∴△DEF是等腰直角三角形；

（3）∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=AC•BC÷2+AC•AD÷2=8×6÷2+8×8÷2=56．

點評：本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形面積的求法．