Question

【題目】定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊，點，在邊存在點，使得為“智慧三角形”，則點的坐標為：______．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

由題可知，“智慧三角形”是直角三角形，因為不確定哪個角是直角，所以分情況討論，∠CPM=90°或∠CMP=90°，設設點P(3,a)，則AP=a，BP=4-a，根據勾股定理求出CP2，MP2，CM2，根據∠CPM=90°或∠CMP=90°，可以得到這三條邊的關系，解之即可.

解：由題可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM=90°或∠CMP=90°

設點P(3,a)，則AP=a，BP=4-a

①若∠CPM=90°，在Rt△BCP中，

在Rt△MPA中，

在Rt△MCP中，

又∵

∴2a2-8a+26=20

即(a-3)(a-1)=0

解得a=3或a=1

∴P(3,3)或(3,1)

②若∠CMP=90°，在Rt△BCP中

在Rt△MPA中，

∵

在Rt△MCP中，

即

∴

綜上，或(3,1)或(3,3)

故答案為或(3,1)或(3,3).