Question

【題目】菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC＝16，BD＝12，動點P在線段AC上從點A向點C以4個單位/秒的速度運動，過點P作EF⊥AC，交菱形ABCD的邊于點E、F，在直線AC上有一點G，使△AEF與△GEF關于EF對稱．設菱形ABCD被四邊形AEGF蓋住部分的面積為S1，未被蓋住部分的面積為S2，點P運動時間為x秒．

（1）用含x的代數式分別表示S1，S2；

（2）若S1＝S2，求x的值．

Answer 1

【答案】（1）當0＜x≤2時，，；當2＜x＜4時， ，S2＝48x﹣96；（2）或x＝3.

【解析】

（1）首先證得EF∥BD，證得△AEF∽△ADB，求得EF，進一步得出AP，分點P從點A到點O，從點O到點C兩種情況，利用菱形的面積計算方法求得S1，S2；

（2）由（1）中的兩個面積建立方程求得x的數值即可．

解：（1）由題得，EF⊥AC，BD⊥AC，

∴EF∥BD

∴△AEF∽△ADB

∴，

∴EF＝6x，

又∵AP＝PG＝4x

∴當0＜x≤2時，

∴，，

當2＜x＜4時，EF＝24﹣6x，

∴，S2＝48x﹣96．

（2）當0＜x≤2時，

24x2＝96﹣24x2，

解得：；

當2＜x＜4時，

192﹣48x＝48x﹣96，

解得：x＝3．