Question

如圖，A、B為⊙O上的兩個定點，P是⊙O上的動點（P不與A、B重合），我們稱∠APB為⊙O上關于A、B的滑動角。
（1）已知∠APB是上關于點A、B的滑動角。
① 若AB為⊙O的直徑，則∠APB=      
② 若⊙O半徑為1，AB=，求∠APB的度數

（2）已知為外一點，以為圓心作一個圓與相交于A、B兩點，∠APB為上關于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交于點M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數量關系。

Answer 1

解：（1）①90⁰。

②如圖，連接AB、OA、OB．

在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA²+OB²=AB²。
∴∠AOB=90°。
當點P在優弧 AB 上時（如圖1），∠APB=∠AOB=45°；
當點P在劣弧 AB 上時（如圖2），
∠APB=（360°－∠AOB）=135°。
（2）根據點P在⊙O₁上的位置分為以下四種情況．
第一種情況：點P在⊙O₂外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間，如圖3，

∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN-∠ANB。
第二種情況：點P在⊙O₂外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間，如圖4，

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。
第三種情況：點P在⊙O₂外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間，如圖5，

∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，
∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。
第四種情況：點P在⊙O₂內，如圖6，

∠APB=∠MAN+∠ANB。

解析