Question

【題目】如圖，在正方形中，．點為邊上一點（不與點重合），點為邊上一點，線段、相交于點，其中．

求證：；

若，求的長及四邊形的面積；

連接，若是以為腰的等腰三角形，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6；（3）.

【解析】

（1）只要證明△ABE≌△BCF，即可推出∠BAE=∠CBF，由∠BAE+∠AEB=90°，推出∠CBF+∠AEB=90°，推出∠BOE=90°；

（2）設OB=x，則OA=x+1，在Rt△AOB中，由AB2=OA2+OB2，可得x2+（x+1）2=52，推出x=3或-4（舍棄），推出OA=4，OB=3，根據S四邊形OECF=S△AOB計算即可；

（3）作DH⊥OA于H．易證△ADH≌△BAO，推出AH=OB，由△ADO是AD為腰的等腰三角形，OA＜AB=AD，推出只有AD=OD，推出AH=OH=OB，設AH=OH=OB=a，可得（2a）2+a2=52，推出a=，推出OA=2，由cos∠BAE=，列出方程即可解決問題；

證明：∵四邊形是正方形，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

設，則，

在中，∵，

∴，

∴或（舍棄），

∴，，

∵，

∴，

∴．

作于．易證，

∴，

∵是為腰的等腰三角形，，

∴只有，

∴，設，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．