Question

如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，下底AB在x軸上，點D在y軸上，直線AC與y軸交于點E（0，1），點C的坐標為（2，3）．
（1）求A、D兩點的坐標；
（2）求經過A、D、C三點的拋物線的函數關系式；
（3）在y軸上是否在點P，使△ACP是等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求出直線EC的解析式，確定點A的坐標；然后利用等腰梯形的性質，確定點D的坐標；
（2）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）滿足條件的點P存在，且有多個，需要分類討論：
①作線段AC的垂直平分線，與y軸的交點，即為所求；
②以點A為圓心，線段AC長為半徑畫弧，與y軸的兩個交點，即為所求；
②以點C為圓心，線段CA長為半徑畫弧，與y軸的兩個交點，即為所求．
解答：解：（1）設直線EC的解析式為y=kx+b，根據題意得：
，解得，
∴y=x+1，
當y=0時，x=-1，
∴點A的坐標為（-1，0）．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，C（2，3），
∴點D的坐標為（0，3）．

（2）設過A（-1，0）、D（0，3）、C（2，3）三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，則有：
，解得，
∴拋物線的關系式為：y=-x²+2x+3；

（3）存在．
①作線段AC的垂直平分線，交y軸于點P₁，交AC于點F．
∵OA=OE，∴△OAE為等腰直角三角形，∠AEO=45°，
∴∠FEP₁=∠AEO=45°，∴△FEP₁為等腰直角三角形．
∵A（-1，0），C（2，3），點F為AC中點，
∴F（，），
∴等腰直角三角形△FEP₁斜邊上的高為，
∴EP₁=1，
∴P₁（0，2）；
②以點A為圓心，線段AC長為半徑畫弧，交y軸于點P₂，P₃．
可求得圓的半徑長AP₂=AC=3．
連接AP₂，則在Rt△AOP₂中，
OP₂===，
∴P₂（0，）．
∵點P₃與點P₂關于x軸對稱，∴P₃（0，-）；
③以點C為圓心，線段CA長為半徑畫弧，交y軸于點P₄，P₅，則圓的半徑長CP₄=CA=3，
在Rt△CDP₄中，CP₄=3，CD=2，
∴DP₄===，
∴OP₄=OD+DP₄=3+，
∴P₄（0，3+）；
同理，可求得：P₅（0，3-）．
綜上所述，滿足條件的點P有5個，分別為：P₁（0，2），P₂（0，），P₃（0，-），P₄（0，3+），P₅（0，3-）．
點評：本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、等腰三角形的判定、勾股定理等知識點．難點在于第（3）問，符合條件的點P有多個，需要分類討論，避免漏解；其次注意解答中確定等腰三角形的方法，即作垂直平分線、作圓來確定等腰三角形．