Question

（13分）如圖1，已知三角形ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90度，把一塊含30度角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上，將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉。

（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N.

①直接寫出DM、DN的數量關系；

②在這一過程中，直角三角板DEF與三角形ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明如何變化的；若不發生變化，請求出其面積.

（2）繼續旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

Answer 1

（1）①DM=DN； ②四邊形DMBN的面積不發生變化，S四邊形DMBN= ；

（2）成立，證明詳見解析

【解析】

試題分析：（1）①連接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD=45°，根據ASA證△MBD≌△NCD，根據全等三角形的性質推出即可；②根據全等得出△MBD和△NCD的面積相等，求出四邊形DMBN的面積等于△BDC的面積，求出即可；

（2）連接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD=45°，根據ASA證△MBD≌△NCD，根據全等三角形的性質推出即可．

試題解析：（1）①DM=DN，證明如下：

連接DB，

∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴BD=DC=AD，∠BDC=90°，

∴∠ABD=∠C=45°，∠MDB+∠BDN=90°，∠BDN+∠CDN=90°，

∴∠MDB=∠CDN，

在△MBD和△NCD中

，

∴△MBD≌△NCD（ASA）

∴DM=DN；

②解：四邊形DMBN的面積不發生變化，

由①知：△MBD≌△NCD，

∴S△MBD=S△NCD，

∴S四邊形DMBN=S△DMB+S△BDN=S△CND+S△BDN=S△BDC=S△ABC=×1×1=；

（2）DM=DN仍然成立，

證明：連接DB，

在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC，∠BDC=90°，

∴∠DCB=∠DBC=45°，

∴∠DBM=∠DCN=135°，

∵∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，

∴∠CDN=∠BDM，

在△CDN和△BDM中

，

∴△CDN≌△BDM（ASA），

∴DM=DN．

考點：1.全等三角形的判定與性質；2.三角形的面積；3.等腰直角三角形．

考點分析： 考點1：圖形的平移與旋轉 定義：
將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。平移是圖形變換的一種基本形式。平移不改變圖形的形狀和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性質：
經過平移，對應線段平行（或共線）且相等，對應角相等，對應點所連接的線段平行且相等；
平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向(平移前后的兩個圖形是全等形)。
（1）圖形平移前后的形狀和大小沒有變化，只是位置發生變化;
（2）圖形平移后，對應點連成的線段平行（或在同一直線上）且相等
（3）多次連續平移相當于一次平移。
（4）偶數次對稱后的圖形等于平移后的圖形。
（5）平移是由方向和距離決定的。
這種將圖形上的所有點都按照某個方向作相同距離的位置移動，叫做圖形的平移運動，簡稱為平移
平移的條件：確定一個平移運動的條件是平移的方向和距離。 平移的三個要點
1 原來的圖形的形狀和大小和平移后的圖形是全等的。
2 平移的方向。（東南西北，上下左右,東偏南n度，東偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）
3 平移的距離。（長度，如7厘米，8毫米等） 平移作用：
1.通過簡單的平移可以構造精美的圖形。也就是花邊，通常用于裝飾，過程就是復制-平移-粘貼。
2.平移長于平行線有關,平移可以將一個角,一條線段,一個圖形平移到另一個位置,是分散的條件集中到一個圖形上,使問題得到解決。 平移作圖的步驟：
（1）找出能表示圖形的關鍵點；
（2）確定平移的方向和距離；
（3）按平移的方向和距離確定關鍵點平移后的對應點；
（4）按原圖的順序，連結各對應點。 試題屬性

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