Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點．

（1）求BC的長；
（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

又∵∠ABC=30°，AB=4，

∴BD=2 ，

∵D是BC的中點，

∴BC=2BD=4

（2）證明：連接OD．

∵D是BC的中點，O是AB的中點，

∴DO是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，則∠EDO=∠CED

又∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°

∴DE是⊙O的切線．

【解析】（1）根據圓周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，進而求得BC即可；（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可．
【考點精析】通過靈活運用含30度角的直角三角形和圓周角定理，掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可以解答此題．