Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，點M為BC邊上一點，BE⊥AM于E交AC于F，且BM=n•CM．

（1）如圖①，當n=3時，

AB

AF

=

3

；
（2）如圖②，當n=2時，求證：AE=

3

2

EM；
（3）如圖③，當n=

2

+1

時，E為AM的中點（畫圖并直接寫出結果）

Answer 1

分析：（1）如圖①，延長DC、AM，交于點N，先由平行線的性質得出∠ACN=90°，利用余角的性質得出∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE，根據ASA證明△BAF≌△ACN，得到AF=CN，再由△BMA∽△CMN，即可求出

AB

CN

=

BM

CM

=3；
（2）如圖②，延長DC、AM，交于點N，連接DF，先同（1）可證△BAF≌△ACN，得出AF=CN，同（1）可證△BMA∽△CMN，得出

AB

CN

=

BM

CM

=2，則F為AC的中點，再根據平行四邊形的性質，得出B、F、D三點共線，然后由△ADE∽△MBE，得出

AE

ME

=

AD

MB

=

3

2

，即可證明AE=

3

2

EM；
（3）如圖③，當n=

2

+1時，

BM

CM

=

2

+1，由合比性質得出

BM

BC

=

2 +1

2 +2

=

2

2

，由△ABC為等腰直角三角形得出

AB

BC

=

2

2

，則BM=AB，再根據等腰三角形三線合一的性質即可證明E為AM的中點．

解答：（1）解：如圖①，延長DC、AM，交于點N．
∵平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ACN=180°-∠BAC=180°-90°=90°．
∵BE⊥AE，∠BAC=90°，
∴∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE．
在△BAF與△ACN中，

∠BAF=∠ACN AB=CA ∠ABF=∠CAN

，
∴△BAF≌△ACN（ASA），
∴AF=CN．
∵CN∥AB，
∴△BMA∽△CMN，
∴

AB

CN

=

BM

CM

=3，
∴

AB

AF

=3；

（2）證明：如圖②，延長DC、AM，交于點N，連接DF．
同（1）可證△BAF≌△ACN，
∴AF=CN．
同（1）可證△BMA∽△CMN，
∴

AB

CN

=

BM

CM

=2，
∴AB=2CN，
∴AC=2AF，
∴F為AC的中點．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴B、F、D三點共線．
∵AD∥BM，
∴△ADE∽△MBE，
∴

AE

ME

=

AD

MB

=

3

2

，
∴AE=

3

2

EM；

（3）解：如圖③，當n=

2

+1時，E為AM的中點．理由如下：
∵n=

BM

CM

=

2

+1，
∴

BM

BC

=

2 +1

2 +2

=

2

2

．
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴

AB

BC

=sin45°=

2

2

，
∴BM=AB，
∵BE⊥AM，
∴E為AM的中點．
故答案為3；

2

+1．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，余角的性質，全等三角形、相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，比例的性質等知識，綜合性較強，難度較大．利用數形結合思想，正確作出輔助線是解題的關鍵．