Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+4過A（2，0）、B（4，0）兩點，交y軸于點C，過點C作x軸的平行線與拋物線上的另一個交點為D，連接AC、BC．點P是該拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m（m＞4）．

（1）求該拋物線的表達式和∠ACB的正切值；

（2）如圖2，若∠ACP=45°，求m的值；

（3）如圖3，過點A、P的直線與y軸于點N，過點P作PM⊥CD，垂足為M，直線MN與x軸交于點Q，試判斷四邊形ADMQ的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣3x+4；tan∠ACB=；（2）m=；（3）四邊形ADMQ是平行四邊形；

【解析】

（1）由點A、B坐標利用待定系數法求解可得拋物線解析式為y=x2-3x+4，作BG⊥CA，交CA的延長線于點G，證△GAB∽△OAC得=，據此知BG=2AG．在Rt△ABG中根據BG2+AG2=AB2，可求得AG=．繼而可得BG=，CG=AC+AG=，根據正切函數定義可得答案；

（2）作BH⊥CD于點H，交CP于點K，連接AK，易得四邊形OBHC是正方形，應用“全角夾半角”可得AK=OA+HK，設K（4，h），則BK=h，HK=HB-KB=4-h，AK=OA+HK=2+（4-h）=6-h．在Rt△ABK中，由勾股定理求得h=，據此求得點K（4，）．待定系數法求出直線CK的解析式為y=-x+4．設點P的坐標為（x，y）知x是方程x2-3x+4=-x+4的一個解．解之求得x的值即可得出答案；

（3）先求出點D坐標為（6，4），設P（m，m2-3m+4）知M（m，4），H（m，0）．及PH=m2-3m+4），OH=m，AH=m-2，MH=4．①當4＜m＜6時，由△OAN∽△HAP知=．據此得ON=m-4．再證△ONQ∽△HMQ得=．據此求得OQ=m-4．從而得出AQ=DM=6-m．結合AQ∥DM可得答案．②當m＞6時，同理可得．

（1）將點A（2，0）和點B（4，0）分別代入y=ax2+bx+4，得，

解得：；

∴該拋物線的解析式為y=x2﹣3x+4，

過點B作BG⊥CA，交CA的延長線于點G（如圖1所示），則∠G=90°．

∵∠COA=∠G=90°，∠CAO=∠BAG，

∴△GAB∽△OAC．

∴=2．

∴BG=2AG，

在Rt△ABG中，∵BG2+AG2=AB2，

∴（2AG）2+AG2=22，解得： AG=．

∴BG=，CG=AC+AG=2+=．

在Rt△BCG中，tan∠ACB═．

（2）如圖2，過點B作BH⊥CD于點H，交CP于點K，連接AK．易得四邊形OBHC是正方形．

應用“全角夾半角”可得AK=OA+HK，

設K（4，h），則BK=h，HK=HB﹣KB=4﹣h，AK=OA+HK=2+（4﹣h）=6﹣h，

在Rt△ABK中，由勾股定理，得AB2+BK2=AK2，

∴22+h2=（6﹣h）2．解得h=，

∴點K（4，），

設直線CK的解析式為y=hx+4，

將點K（4，）代入上式，得=4h+4．解得h=﹣，

∴直線CK的解析式為y=﹣x+4，

設點P的坐標為（x，y），則x是方程x2﹣3x+4=﹣x+4的一個解，

將方程整理，得3x2﹣16x=0，

解得x1=，x2=0（不合題意，舍去）

將x1=代入y=﹣x+4，得y=，

∴點P的坐標為（，），

∴m=；

（3）四邊形ADMQ是平行四邊形．理由如下：

∵CD∥x軸，

∴yC=yD=4，

將y=4代入y=x2﹣3x+4，得4=x2﹣3x+4，

解得x1=0，x2=6，

∴點D（6，4），

根據題意，得P（m， m2﹣3m+4），M（m，4），H（m，0），

∴PH=m2﹣3m+4，OH=m，AH=m﹣2，MH=4，

①當4＜m＜6時，DM=6﹣m，

如圖3，

∵△OAN∽△HAP，

∴，

∴=，

∴ON===m﹣4，

∵△ONQ∽△HMQ，

∴，

∴，

∴，

∴OQ=m﹣4，

∴AQ=OA﹣OQ=2﹣（m﹣4）=6﹣m，

∴AQ=DM=6﹣m，

又∵AQ∥DM，

∴四邊形ADMQ是平行四邊形．

②當m＞6時，同理可得：四邊形ADMQ是平行四邊形．

綜上，四邊形ADMQ是平行四邊形．