Question

【題目】如圖，在圓O中，弦AB⊥CD于E，弦AG⊥BC于F，CD與AG相交于點M．

（1）求證：弧BD=弧BG．

（2）如果AB＝12，CM＝4，求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2

【解析】

（1）連結AD、BD、BG，由AB⊥CD，AG⊥BC得到∠CEB=∠AFB=90°，根據等角的余角相等得到∠ECB=∠BAF，即可得出結論；

（2）連接OA、OB、OC、OG、CG，作OH⊥CG于H，OK⊥AB于K，由垂徑定理得出CH=GH=CG，AK=BK=AB=6，由圓周角定理和角的互余關系證出∠CNF=∠AGC，得出CG=CM=4，因此GH=2，由AG⊥BC證出弧BG的度數+弧AC的度數=180°，得出∠COG+∠AOB=180°，因此∠HOG+∠BOK=90°，證出∠HGO=∠BOK，由AAS證明△HOG≌△KBO，得出對應邊相等OK=HG=2，再由勾股定理求出OB即可．

（1）證明：連結AD、BD、BG，如圖1所示，

∵AB⊥CD，AG⊥BC，

∴∠CEB＝∠AFB＝90°，

∴∠ECB+∠B＝90°，∠BAF+∠B＝90°，

∴∠ECB＝∠BAF，即∠DCB＝∠BAG，

∴弧BD＝弧BG；

（2）解：連接OA、OB、OC、OG、CG，作OH⊥CG于H，OK⊥AB于K，如圖2所示：

則CH＝GH＝CG，AK＝BK＝AB＝6，

∵∠DCB＝∠BAG，∠DCB+∠CMF＝90°，∠BAG+∠ABF＝90°，

∴∠CMF＝∠ABF，

∵∠ABF＝∠AGC，

∴∠CMF＝∠AGC，

∴CG＝CM＝4，

∴GH＝2，

∵AG⊥BC，

∴∠AFB＝90°，

∴∠FAB+∠FBA＝90°，

∴弧BG的度數+弧AC的度數＝180°，

∴∠COG+∠AOB＝180°，

∴∠HOG+∠BOK＝90°，

∵∠HGO+∠HOG＝90°，

∴∠HGO＝∠BOK，

在△HOG和△KBO中，，

∴△HOG≌△KBO（AAS），

∴OK＝HG＝2，

∴OB＝＝＝2；

即⊙O的半徑為2．