Question

【題目】如圖，AB、CD 為圓形紙片中兩條互相垂直的直徑，將圓形紙片沿EF 折疊，使 B 與圓心 M 重合，折痕 EF 與 AB 相交于 N，連結 AE、AF，得到了以下結論：①四邊形 MEBF 是菱形，②△AEF 為等邊三角形，③S△AEF：S 圓＝3：4π，其中正確的是_______．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①根據垂徑定理可得 BM 垂直平分 EF，再求出 BN＝MN，從而得到 BM、EF 互相垂直平分，然后根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形求出四邊形MEBF 是菱形，從而得到①正確；②連接 ME，根據直角三角形 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠MEN＝30°，然后求出∠EMN＝60°，根據等邊對等角求出∠AEM＝∠EAM，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠AEM ＝30°，從而得到∠AEF＝60°，同理求出∠AFE＝60°，再根據三角形的內角和等于 180°求出∠EAF＝60°，從而判定△AEF 是等邊三角形，②正確；③設圓的半徑為 r，求出 MN＝r，EN＝ r， 然后求出 AN、EF，再根據三角形的面積公式與圓的公式列式整理即可得到③正確．

①根據垂徑定理，BM 垂直平分 EF，

又∵紙片沿 EF 折疊，B、M 兩點重合，

∴BN＝MN，

∴BM、EF 互相垂直平分，

∴四邊形 MEBF 是菱形，故①正確；

②如圖，連接 ME，則 ME＝MB＝2MN．

∵∠ENM＝90°，

∴∠MEN＝30°，

∴∠EMN＝90°﹣30°＝60°，

又∵AM＝ME（都是半徑），

∴∠AEM＝∠EAM，

∴∠AEM＝ ∠EMN＝ ×60°＝30°，

∴∠AEF＝∠AEM+∠MEN＝30°+30°＝60°，

同理可求∠AFE＝60°，

∴∠EAF＝60°，

∴△AEF 是等邊三角形，故②正確；

③設圓的半徑為 r，則 MN＝r，EN＝ r，

∴EF＝2EN＝r，AN＝r+ r＝r，

∴S△AEF：S 圓＝（×r×r）：πr2＝3：4，故③正確；

綜上所述，結論正確的是①②③．

故答案①②③．