Question

（2012•博野縣模擬）如圖，在平面直角坐標系中，直線AC：y=

4

3

x+8與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax²+bx+c過點A、點C，且與x軸的另一交點為B（x₀，0），其中x₀＞0，又點P是拋物線的對稱軸l上一動點．
（1）求點A的坐標，并在圖1中的l上找一點P₀，使P₀到點A與點C的距離之和最小；
（2）若△PAC周長的最小值為10+2

41

，求拋物線的解析式及頂點N的坐標；
（3）如圖2，在線段CO上有一動點M以每秒2個單位的速度從點C向點O移動（M不與端點C、O重合），過點M作MH∥CB交x軸于點H，設M移動的時間為t秒，試把△P₀HM的面積S表示成時間t的函數，當t為何值時，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，計算求出x的值，即可得到點A的坐標，根據軸對稱性，連接CB與對稱軸l的交點即為到點A與點C的距離之和最小的點；
（2）當點P在點P₀處時，△PAC的周長最小，此時三角形的周長等于AC+CB，再根據直線AC的解析式求出點C的坐標，再根據勾股定理求出AC的長，從而得到CB的長度，再次利用勾股定理列式求出OB的長度，從而得到點B的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式進行計算求出拋物線解析式，轉化為頂點式形式寫出頂點坐標即可；
（3）先表示出OM的長度，然后判定△OMH和△OCB相似，再根據相似三角形對應邊成比例列式求出MH的長度，過點M作MD⊥CB于點D，然后根據∠OCB的正弦列式求出MD的長度，再根據平行線間的距離相等，點P₀到MH的距離等于MD的長度，再根據三角形的面積公式列式并整理即可得到S與t的函數關系式，最后根據二次函數的最值問題解答．

解答：解：（1）令y=0，則

4

3

x+8=0，
解得x=-6，
所以，點A的坐標為A（-6，0），
連接CB與直線l相交于一點，交點即為P₀；

（2）當點P在點P₀處時，△PAC的周長最小，
此時，可求點C的坐標為（0，8），
在Rt△AOC中，AC=

AO2+OC2

=

62+82

=10，
∵△PAC周長的最小值為10+2

41

，
∴CB=10+2

41

-10=2

41

，
在Rt△BOC中，OB=

OB2-OC2

=

(2 41 )2-82

=10，
∴點B的坐標為（10，0），
∵點A（-6，0），B（10，0），C（0，8）都在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴

36a-6b+c=0 100a+10b+c=0 c=8

，
解得

a=- 2 15 b= 8 15 c=8

，
∴拋物線的解析式為y=-

2

15

x²+

8

15

x+8，
∵y=-

2

15

x²+

8

15

x+8=-

2

15

（x²-4x+4）+

8

15

+8=-

2

15

（x-2）²+

128

15

，
∴頂點N的坐標為（2，

128

15

）；

（3）∵點M的速度是每秒2個單位，
∴OM=OC-CM=8-2t，
∵MH∥CB，
∴△OMH∽△OCB，
∴

MH

CB

=

OM

OC

，
即

MH

2 41

=

8-2t

8

，
解得MH=

4-t

2

41

，
過點M作MD⊥CB于點D，則sin∠OCB=

MD

CM

=

OB

CB

，
即

MD

2t

=

10

2 41

，
解得MD=

10 41

41

t，
根據平行線間的距離可得，點P₀到MH的距離等于MD的長度，
所以，S=

1

2

×

4-t

2

41

×

10 41

41

t=-

5

2

t²+10t，
∵8÷2=4，
∴0＜t＜4，
∵y=-

5

2

t²+10t=-

5

2

（t²-4t+4）+10=-

5

2

（t-2）²+10，
∴當t=2時，S有最大值，最大值為10．

點評：本題綜合考查了二次函數，主要利用了最短路線問題，待定系數法求二次函數解析式，頂點坐標的求解，相似三角形的判定與性質，勾股定理，綜合性較強，難度較大，需仔細分析，理清題目的數量關系與變化過程方可正確求解．