Question

【題目】如圖，在中，，為的平分線，點在上，經過點，兩點，與，分別交于點，．

（1）求證：與相切；

（2）若，，求的半徑和的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），．

【解析】

（1）連接OD，根據等邊對等角可得∠OAD=∠ODA，然后根據角平分線的定義可得∠CAD=∠OAD，從而證出∠CAD=∠ODA，根據平行線的判定定理可得OD∥AC，從而證出OD⊥BC，然后根據切線的判定定理即可證出結論；

（2）連接DF，根據勾股定理求出AD，然后根據相似三角形的判定定理證出△CAD∽△DAF，列出比例式即可求出AF，從而求出圓的半徑，然后利用平行證出△BOD∽△BAC，然后列出比例式即可求出BC．

（1）證明：連接OD

∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA

∵為的平分線，

∴∠CAD=∠OAD

∴∠CAD=∠ODA

∴OD∥AC

∴∠ODB=∠ACB=90°

∴OD⊥BC

∴與相切；

（2）連接DF

在Rt△ACD中，AD==

∵AF為直徑

∴∠ADF=90°

∴∠ACD=∠ADF

∵∠CAD=∠DAF

∴△CAD∽△DAF

∴

即

解得：AF=

∴的半徑==，

∵OD∥AC

∴△BOD∽△BAC

∴

即

解得：BC=8