Question

【題目】綜合與探究

如圖，已知拋物線y＝ax2﹣3x+c與y軸交于點A（0，﹣4），與x軸交于點B（4，0），點P是線段AB下方拋物線上的一個動點．

（1）求這條拋物線的表達式及其頂點的坐標；

（2）當點P移動到拋物線的什么位置時，∠PAB＝90°求出此時點P的坐標；

（3）當點P從點A出發，沿線段AB下方的拋物線向終點B移動，在移動中，設點P的橫坐標為t，△PAB的面積為S，求S關于t的函數表達式，并求t為何值時S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4，（2）（2，﹣6）；（3）當t＝2時，S取得最大值，最大值為8．

【解析】

（1）根據點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法即可求出拋物線的頂點坐標；

（2）過點P作PQ⊥OA于點Q，由OA＝OB結合∠PAB＝90°可得出∠PAQ＝45°，進而可得出AQ＝PQ，設點P的坐標為（m，m2﹣3m﹣4），由點A的坐標結合AQ＝PQ可得出關于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；

（3）根據點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出直線AB的解析式，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，由點P的橫坐標為t可得出點P，M的坐標，進而可得出PM的長，由S△PAB＝S梯形OAPM+S△PBM﹣S△AOB可得出S關于t的函數表達式，再利用二次函數的性質即可解決最值問題．

（1）將A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝ax2﹣3x+c，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣3x﹣4．

∵，

∴拋物線的頂點坐標為．

（2）過點P作PQ⊥OA于點Q，如圖1所示．

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝45°．

又∵∠PAB＝90°，

∴∠PAQ＝45°，

∴AQ＝PQ．

設點P的坐標為（m，m2﹣3m﹣4），

∴m＝﹣4﹣（m2﹣3m﹣4），

解得：m1＝0（舍去），m2＝2，

∴點P的坐標為（2，﹣6）．

（3）設直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），

將A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

∴直線AB的解析式為y＝x﹣4．

過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，如圖2所示．

∵點P的坐標為（t，t2﹣3t﹣4），

∴點M的坐標為（t，0），

∴PM＝﹣t2+3t+4

∴S△PAB＝S梯形OAPM+S△PBM﹣S△AOB，

＝（OA+PM）OM+PMBM﹣OAOB，

＝ [4+（﹣t2+3t+4）]t+（﹣t2+3t+4）（4﹣t）﹣×4×4，

＝﹣2t2+8t，

即S＝﹣2t2+8t（0≤t≤4）．

S＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，

∵﹣2＜0，

∴當t＝2時，S取得最大值，最大值為8．