Question

【題目】綜合與探究

如圖所示：點和點分別在射線和射線上運動（點和點不與點重合），，是的平分線，是在頂點處的外角平分線，的反向延長線與交于點.試回答下列問題：

（1）若，則_________，若，則_________.

（2）設，用表示的度數，則__________.

（3）試猜想，點和點在運動過程中，的度數是否發生變化？若變化，請求出變化范圍；若不變，請給出證明.

Answer 1

【答案】（1）45 45；（2）；（3）不變，理由如下：

【解析】

（1）根據角平分線的定義用∠ACB表示出∠ACD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和與角平分線的定義表示出∠MAC，整理即可得解；
（2）根據（1）可得∠D=45°，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和解答即可；
（3）根據角的平分線定義表示出∠MAC，∠ACD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式整理即可得到∠D的大小只與∠ABC有關．

（1）∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=∠ACB，
∵AM是△ABC在頂點A處的外角平分線，
∴∠MAC=∠FAC，
根據三角形外角性質，∠MAC=∠ACD+∠D，
∠FAC=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACD+∠D=（∠ACB+∠ABC），
∴∠ACB+∠D=∠ACB+∠ABC，
∠D=∠ABC，
∵BF⊥BE，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=

即∠D的大小與∠ACB無關，等于∠ABC，
當∠ACB=30°，∠D=45°，∠ACB=70°，∠D=45°；

（2）根據（1）∠D=45°，
∵∠ACD=x，
∴在△ACD中，∠MAC=∠ACD+∠D=（45+x）°；
（3）不變．理由如下：
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=∠ACB，
∵AM是△ABC在頂點A處的外角平分線，
∴∠MAC=∠FAC，
根據三角形外角性質，∠MAC=∠ACD+∠D，
∠FAC=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACD+∠D=（∠ACB+∠ABC），
∴∠ACB+∠D=∠ACB+∠ABC，
∠D=∠ABC，
∵BF⊥BE，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=×90°=45°．