Question

【題目】如圖①，在中，，，是過點的一條直線，且、在的異側，于，于.

（1）求證：.

（2）若將直線繞點旋轉到圖②的位置時（），其余條件不變，問與、的關系如何？請予以證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD=DE-CE，理由見解析.

【解析】

（1）根據已知利用AAS判定△ABD≌△CAE從而得到BD=AE，AD=CE，因為AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；
（2）根據已知利用AAS判定△ABD≌△CAE從而得到BD=AE，AD=CE，因為AD+AE=BD+CE，所以BD=DE-CE．

解：（1）∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）與、的數量關系是BD=DE-CE，理由如下：
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴AD+AE=BD+CE，
∵DE=BD+CE，
∴BD=DE-CE．