Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2﹣2mx+3m與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點D為該拋物線上的一點、且在第二象限內，連接AC，若∠DAB＝∠ACO，求點D的坐標；

（3）若點E為線段OC上一動點，試求2AE+EC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）點D的坐標為（﹣，）；（3）4．

【解析】

（1）把點C的坐標代入拋物線求出m，即可求出解析式；

（2）過D點作x軸的垂線，交x軸于點H，點D的坐標為（n，n 2+2 n﹣3），易知∠DAB =∠ACO ，利用tan∠DAB＝tan∠ACO即可求得n的值，即可求出D點坐標；

（3）根據B，C坐標求出直線BC的解析式為y=-x-3，故∠BCO=45°，則EF＝EC，AE+EC＝AE+EF，故當A、E、F三點共線時，AE+EC最小，即2AE+EC最小，

根據BC⊥AF可設直線AF的表達式為：y＝x+b，代入A點即可求出直線AF，令x=0，可求出E點坐標，即可求出此時2AE+EC的值.

解：（1）把點C的坐標代入拋物線表達式得：9+6m+3m＝0，

解得：m＝﹣1，

故該拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3；

（2）過D點作x軸的垂線，交x軸于點H，過點E作EF⊥BC，交BC于點F，

令y=0，求得A（1,0），B（-3,0）.

設：點D的坐標為（n，n 2+2n﹣3），

∵∠DAB＝∠ACO，

∴tan∠DAB＝tan∠ACO，

即：=，=，

解得：＝或1（舍去m＝1），

故點D的坐標為（，）；

（3）根據B，C坐標求出直線BC的解析式為y=-x-3，

過點E作EF⊥BC，交BC于點F，

則EF＝EC，AE+EC＝AE+EF，

∴當A、E、F三點共線時，AE+EC最小，即2AE+EC最小，

設：直線AF的表達式為：y＝x+b，

將點A坐標（1，0）代入上式，1+b＝0，則b＝﹣1，

則直線AE的表達式為：y＝x﹣1，則點E的坐標為（0，﹣1），

則EC＝3﹣1＝2，AE＝

2AE+EC＝2+2＝4．