Question

【題目】問題提出

(1)如圖①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，則△ABC的外接圓半徑R的值為 ．

問題探究

(2)如圖②，⊙O的半徑為13，弦AB＝24，M是AB的中點，P是⊙O上一動點，求PM的最大值．

問題解決

(3)如圖③所示，AB、AC、BC是某新區的三條規劃路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所對的圓心角為60°．新區管委會想在BC路邊建物資總站點P，在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F．也就是，分別在、線段AB和AC上選取點P、E、F．由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規劃道路PE、EF和FP．為了快捷環保和節約成本要使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE＋EF＋FP的最小值(各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計)．

圖① 圖② 圖③

Answer 1

【答案】（1）5；（2）18；（3）（3－9）km．

【解析】（1）如圖（1），設外接圓的圓心為O，連接OA， OB，根據已知條件可得△AOB是等邊三角形，由此即可得半徑；

（2）如圖（2）所示，連接MO并延長交⊙O于N，連接OP，顯然，MN即為MP的最大值，根據垂徑定理求得OM的長即可求得MN的最大值；

（3） 如圖（3）所示，假設P點即為所求點，分別作出點P關于AB、AC的對稱點P、P＂連接PP、PE，PE，P＂F，PF，PP＂，則PP＂即為最短距離，其長度取決于PA的長度， 根據題意正確畫出圖形，得到點P的位置，根據等邊三角形、勾股定理等進行求解即可得PE＋EF＋FP的最小值.

（1）如圖（1），設外接圓的圓心為O，連接OA， OB，

∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，

∴∠BAO=∠OAC=∠BAC==60°，

∵OA=OB，

∴△AOB是等邊三角形，

∴OB=AB=5，

故答案為：5；

（2）如圖（2）所示，連接MO并延長交⊙O于N，連接OP，

顯然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝＝5，MN＝18，

∴PM的最大值為18；

（3） 如圖（3）所示，假設P點即為所求點，分別作出點P關于AB、AC的對稱點P、P＂連接PP、PE，PE，P＂F，PF，PP＂

由對稱性可知PE＋EF＋FP＝PE＋EF＋FP＂＝PP＂，且P、E、F、P＂在一條直線上，所以PP＂即為最短距離，其長度取決于PA的長度，

如圖（4），作出弧BC的圓心O，連接AO，與弧BC交于P，P點即為使得PA最短的點，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，

∴ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3，

BC所對的圓心角為60°，∴OBC是等邊三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3，

∴∠ABO＝90°，AO＝3，PA＝3－3，

∠PAE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，

∴∠PAP＂＝2∠ABC＝120°，PA＝AP＂，

∴∠APE＝∠AP＂F＝30°，

∵PP＂＝2PAcos∠APE＝PA＝3－9，

所以PE＋EF＋FP的最小值為3－9km．