Question

【題目】如圖，拋物線交軸于點，交軸于點，拋物線頂點為，下列四個結論：①無論取何值，恒成立；②當時，是等腰直角三角形；③若則；④拋物線上有兩點和，若，且，則．其中正確的結論是（ ）

A.①②④B.②③④C.①②D.①③

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據拋物線解析式可知C（0，t），把解析式配方可得頂點D（1，t-1），根據兩點間距離公式可對①進行判斷；當t=0時，根據拋物線解析式可得A、B、D三點坐標，利用兩點間距離公式求出AD、BD、AB的長，根據勾股定理逆定理即可對②進行判定；根據拋物線解析式可得對稱軸為直線x=1，根據二次函數的對稱性即可對③進行判定；由可得x1-1＞1-x2，根據x1、x2的取值范圍可比較兩點與對稱軸的距離的遠近，根據二次函數的性質可對④進行判定；綜上即可得答案．

∵=(x-1)2+t-1，

∴頂點D坐標為（1，t-1），對稱軸為直線x=1，

當x=0時，y=t，

∴點C坐標為（0，t），

∴CD==，

∴無論取何值，恒成立，故①正確，

當t=0時，方程為y=x2-2x，頂點D坐標為（1，-1），

令y=0，則x2-2x=0，

解得：x1=0，x2=2，

∴A（0，0），B（2，0），

∵A、B關于對稱軸x=1對稱，

∴△ABD是等腰三角形，AD=BD==，AB=2，

∵（）2+（）2=22，

∴AD2+BD2=AB2，

∴△ABD是直角三角形，

∴△ABD是等腰直角三角形，故②正確，

∵A（a，0），B（b，0）根據對稱軸x=1對稱，

∴當a=-1時，b=3，故③錯誤，

∵，

∴x1-1＞1-x2，

∵，

∴x1-1＜0，1-x2＜0，

∴|x1-1|＜|1-x2|，

∴點M到對稱軸的距離小于點N到對稱軸的距離，

∵1＞0，

∴拋物線的開口向上，

∴y1＜y2，故④正確，

綜上所述：正確的結論有①②④，

故選：A．