Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y軸的交點為B（0，3），其頂點為C，對稱軸為x=1．

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點M為y軸上的一個動點，當△ABM為等腰三角形時，求點M的坐標；
（3）將△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到另一個三角形，將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數式表示S．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為（﹣1，0），則

，

解得 ．

故拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：依題意：設M點坐標為（0，t），

① 當MA=MB時：

解得t=0，

故M（0，0）；

②當AB=AM時：

解得t=3（舍去）或t=﹣3，

故M（0，﹣3）；

③當AB=BM時，

解得t=3±3 ，

故M（0，3+3 ）或M（0，3﹣3 ）．

所以點M的坐標為：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3 ）、（0，3﹣3 ）

（3）

解：平移后的三角形記為△PEF．

設直線AB的解析式為y=kx+b，則

，

解得 ．

則直線AB的解析式為y=﹣x+3．

△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到△PEF，

易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．

設直線AC的解析式為y=k′x+b′，則

，

解得 ．

則直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

連結BE，直線BE交AC于G，則G（ ，3）．

在△AOB沿x軸向右平移的過程中．

①當0＜m≤ 時，如圖1所示．

設PE交AB于K，EF交AC于M．

則BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，

聯立 ，

解得 ，

即點M（3﹣m，2m）．

故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM

= PE2﹣ PK2﹣ AFh

= ﹣ （3﹣m）2﹣ m2m

=﹣ m2+3m．

②當 ＜m＜3時，如圖2所示．

設PE交AB于K，交AC于H．

因為BE=m，所以PK=PA=3﹣m，

又因為直線AC的解析式為y=﹣2x+6，

所以當x=m時，得y=6﹣2m，

所以點H（m，6﹣2m）．

故S=S△PAH﹣S△PAK

= PAPH﹣ PA2

=﹣ （3﹣m）（6﹣2m）﹣ （3﹣m）2

= m2﹣3m+ ．

綜上所述，當0＜m≤ 時，S=﹣ m2+3m；當 ＜m＜3時，S= m2﹣3m+ ．

【解析】（1）根據對稱軸可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為（﹣1，0），根據待定系數法可得拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）分三種情況：①當MA=MB時；②當AB=AM時；③當AB=BM時；三種情況討論可得點M的坐標．（3）平移后的三角形記為△PEF．根據待定系數法可得直線AB的解析式為y=﹣x+3．易得AB平移m個單位所得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．根據待定系數法可得直線AC的解析式．連結BE，直線BE交AC于G，則G（ ，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過程中．根據圖象，易知重疊部分面積有兩種情況：①當0＜m≤ 時；②當 ＜m＜3時；討論可得用m的代數式表示S．