Question

【題目】如圖1，已知五邊形OABCD的頂點O在坐標原點，點A在y軸上，點D在x軸上，AB∥x軸，CD∥y軸，動點P從點O出發，以每秒1單位的速度，沿五邊形OABCD的邊順時針運動一周，順次連結P，O，A三點所圍成圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒，S與t之間的函數關系如圖2中折線OEFGHI所示．

（1）求證：AB=2；

（2）求五邊形OABCD的面積．

（3）求直線BC的函數表達式；

（4）若直線OP把五邊形OABCD的面積分成1：3兩部分，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）24；（3）y=﹣x+；（4）點P（）或（）．

【解析】

（1）先判斷出OA=6，再利用三角形ABO的面積即可求出AB；

（2）先判斷出BC，CD，進而求出B'D，再用面積的和即可得出結論；

（3）先確定出點B，C坐標，利用待定系數法即可得出結論；

（4）先判斷出點P必在線段BC上，進而求出求出三角形ABM的面積，再分兩種情況利用面積建立方程求解即可得出結論．

（1）連接OB，由圖1，圖2知，OA=6，

當點P運動到點B時，S△AOP=S△AOB=×6×AB=6，

∴AB=2，

（2）由（1）知AB=2，

∴OA+AB=6+2=8，

∴圖2中的a是8秒，

由圖1，圖2知，當點P從B運動到點C時，用了13﹣8=5秒鐘，

∴BC=5，

點P從點C運動到點D時，△AOP的面積不變，用了15﹣13=2秒，

∴CD=2，

過點B作BB'⊥OD于B'，

∴四邊形OABB'是矩形，BB'=OA=6，OB'=AB=2，

過點C作CC'⊥BB'于B'，

∴四邊形CC'B'D是矩形，B'C'=CD=2，DB'=CC'

∴BC'=BB'﹣B'C'=4

在Rt△BC'C中，根據勾股定理得，CC'==3，

∴DB'=3，

∴OD=OB'+DB'=2+2=5，

∴S五邊形OABCD的面積=S矩形AOBB'+S梯形CDB'B=2×6+（2+6）×3=24；

（3）由（2）知，BB'=6，OB'=2，

∴B（2，6），

由（2）知，CD=2，OD=5，

∴C（5，2），

設直線BC的解析式為y=kx+b'，

∴，

∴，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+；

（4）如圖3，

連接OB，OC，由圖2知，S△AOB=6，

由（2）知，CD=2，OD=5，

∴S△COD=5，

延長CB交y軸于M，

∴M（0，），

∴AM=，

∴S△AMB=AM×AB=

由（2）知，S五邊形OABCD的面積=24，

∴點P必在線段BC上，

設P（m，﹣ m+）（0＜m＜5），

∵直線OP把五邊形OABCD的面積分成1：3兩部分，

∴S四邊形OABP=S五邊形OABCD的面積=8或S四邊形OABP=S五邊形OABCD的面積=16，

當S四邊形OABP=8時，∴S△OPM=S四邊形OABP+S△AMB==××m，

∴m=，

∴P（，）

當S四邊形OABP'=16時，S△OP'M=S四邊形OABP'+S△AMB==××m，

∴m=，

∴P'（，），

即：滿足題意的點P（，）或（，）．